Numerical Optimization Techniques

 

 

수치적 최적화 방법론(numerical optimization technique)은 주어진 공학적 설계 문제(engineering design problem)의 최적해(optimum design)를 찾기 위한 수치적 방법론에 대한 연구를 목적으로 한다. 최적화 방법론에 관한 연구에 가장 중점을 두는 요구사항은 효율성(efficiency)과 강건성(robustness)이다.

 

효율성은 주어진 문제를 적은 수치적 비용(computational cost)으로 최적해를 찾는 것을 의미한다. 따라서 효율적인 설계방안을 마련하여 요구되는 해석 프로그램의 해석 명령 횟수를 최대한 줄여 효율성을 확보해야 한다. 강건성은 사용되는 최적화 방법론이 모든 문제에 대해 최적해를 찾는 지의 여부로 판단한다. 강건성을 확보하여 주어진 문제의 특성에 관계없이 모두 최적해를 찾을 수 있도록 하는 것을 목적으로 연구를 진행한다.

 

이러한 효율성과 강건성을 모두 만족시키기 위한 수치적 최적화 방법론으로 본 연구실에서는 순차적 근사 최적설계 (Sequential Approximate Optimization, SAO) 에 대해 주로 다룬다. 순차적 근사 최적설계는 그림 1과 같이 실제 해석모델을 근사모델로 대체하여, 이를 연속적(Sequential)으로 풀어 최적해를 찾는 것을 의미한다. 이때 이동제한(move limit) 혹은 트러스트 영역(trust region scheme) 등을 이용하여 강건성을 확보할 수 있으며, 근사모델의 정확도 향상 등을 통하여 효율성의 제고를 모색할 수 있다.

 

 

그림 1 Diagram of SAO framework

 

 

 

이때 SAO는 사용되는 근사모델에 필요한 정보에 따라 함수 기반 근사모델 (Function based approximate model)과 도함수 기반 근사모델(Gradient based approximate model)로 나눌 수 있다. 함수 기반 근사모델은 몬테 카를로 시뮬레이션 등으로 수치적 노이즈가 포함된 해석이나 실제 실험을 통한 설계에 적절히 적용할 수 있으며, 도함수 기반 근사모델은 보조변수법(adjoint variable method), 준해석적 방법(semi-analytic method), 혹은 유한차분법(finite difference method) 등으로 도함수를 구할 수 있는 시스템을 설계할 때 적용할 수 있다.

 

본 연구실에서 개발한 함수 기반 근사모델은 대표적으로 PQRSM(Progressive Quadratic Response Surface Method)이 있다. 그림 2에서 PQRSM의 과정을 도식적으로 표현하였다.

 

 

그림 2 Outline of RQRSM procedure

 

 

 

또한 STDQAO(Sequential Two-point Diagonal Quadratic Approximate Optimization)은 본 연구실에서 개발한 대표적인 Gradient based 근사모델을 이용한 순차적 근사 최적설계 방법론이다. 이에 사용되는 근사함수인 ETDQAⅠ과 ETDQAⅡ의 수식을 살펴보면 그림 3과 같다.

 

 

그림 3 Numerical equations of Enhanced Two-point Diagonal Quadratic Approximations