위상 최적설계는 치수(size), 형상(shape), 위상(topology) 최적설계로 구분되는 구조 최적설계의 한 분야이다.

먼저 치수(size) 최적설계에서 구조물의 형태 자체는 최적설계과정에서 변하지 않는다. 치수 최적설계에서 사용하는 설계변수는 골조구조를 형성하는 트러스나 보의 단면형상을 정의하는 치수, 평판이나 셸의 두께, 섬유강화재의 섬유밀도 등을 들 수가 있으며 이러한 설계변수의 변화는 구조물의 형태 자체의 변화를 일으키지는 않는다. 형상 최적설계는 구조물의 형상이 변하는 설계문제로 구조물의 경계형상이나 내부에 계획한 구멍의 크기나 위치를 정하는 문제로 나타난다. 이 두 가지 접근방법은 설계자가 변경시킬 수 있는 구조물의 형태가 한정되어 있다는 문제점이 있다. 따라서 초기 레이아웃이 결정되어 있는 구조물의 경량화는 치수, 형상 최적설계를 통해서는 큰 효과를 얻기가 어려우며 필연적으로 설계영역 내의 구멍 생성과 같은 위상적 변화를 시도하여야 한다.

 

위상 최적설계는 이산화된 각 요소의 밀도 또는 기타 특성을 설계변수로 하여 목적함수와 제한조건에 따른 각 요소의 유무를 판정하여 최종적인 설계위상을 도출하는 방법이다. 이는 크게 균질화법(homogenization design method)에 의한 방법과 밀도법(Solid Isotropic Material with Penalization Method; SIMP)으로 나뉜다. 균질화법은 연속체의 특성을 나타내기 위해 복합재의 개념을 사용하고 영역의 완화(relaxation)를 통해 위상최적설계를 수행하는 방법으로 탄탄한 이론적 배경을 가지고 있다. 하지만 설계문제가 난해하며 경우에 따라 해를 구할 수 없는 문제점을 가지고 있다. 밀도법의 경우 재료가 등방성을 가지고 있다는 가정하에 수행하며 설계영역을 유한개의 요소로 구분하는 점에서는 균질화법과 동일하나 각 요소의 밀도만을 설계변수로 사용한다는 점이 다르다. 또한 상대적으로 적용하기가 쉬워 연구자들 사이에 널리 사용되는 방법이다.

 

 

Homogenization Design Method

 

 

그림 1은 균질화법에 의한 위상최적화의 개념을 나타내고 있다. 경계조건이 주어진 연속체인 구조물에 외력이 작용하는 경우 이를 해석하기 위해 유한요소법(Finite Element Method)이 널리 사용된다. 균질화법의 기본적인 개념인 설계영역의 완화를 위해 각각의 요소는 내부에 구멍을 가지고 있는 무한개의 미소셀(Micro Cell)로 이루어져 있다. 각각의 미소셀은 2D, Plate/Shell, 3D 요소에 따라 미소셀의 내부 구멍의 크기를 결정하는 인자들이 설계변수가 된다. 따라서 균질화법을 사용하는 경우 설계영역을 유한개의 요소로 구분하였을 지라도 설계변수의 개수는 무한개가 될 수 있다.

 

 

 

그림 1 균질화법에 의한 위상최적설계의 개념

 

 

 

Solid Isotropic Material with Penalization; SIMP

 

 

밀도법을 사용한 위상최적설계는 설계영역을 유한개의 요소로 구분하는 점에서는 균질화법과 동일하나 각 요소의 밀도만이 설계변수가 되며 밀도에 따른 재료의 물성치는 식 (1)과 같이 표현된다. 여기서 E는 재료의 원탄성계수, ρ는 요소의 밀도, ppenalization parameter이다. 설계영역이 연속체임을 고려할 때 ρ 0에서 1사이의 값을 가지고 0일 경우 재료가 없으며, 1일 경우 재료가 채워져 있는 것으로 볼 수 있다. p는 일반적으로 3이상의 값을 가진다. 밀도법은 균질화법처럼 미소셀의 개념이 사용되지 않아 이론적인 접근이 쉬운 편이나 연속체를 유한개의 요소로 분할하여 위상최적설계를 수행하기 때문에 요소에 의존적인 결과를 얻을 수 밖에 없다.

 

 

(1)

 

정적 하중이 가해지는 구조물에서 밀도법을 이용한 위상 최적설계의 가장 기본적인 정식화는 사용할 수 있는 재료의 양을 제한시킨 상태에서 주어진 하중에 대한 변형을 최소화 하는 문제이다. 이는 전체 스트레인 에너지의 최소화 혹은 구조물의 강성을 최대화 하는 문제와 동일하며 식 (2)와 같이 정식화 할 수 있다. 여기서 f는 외력, u는 변위, ve는 각 요소의 부피, K는 강성행렬을 나타낸다. 그림 2는 식 (2)와 같은 정식화를 사용하여 몇가지 대표적인 정적 구조물의 위상최적설계에 적용하여 얻은 결과를 나타낸다.

 

 

 

(2)

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그림 2 위상최적설계 결과